Başka bir noktayı bulmak için yalnızca iki çizgiye (dört nokta) ihtiyacınız var. İki çizgide 0, 1 veya sonsuz sayıda kesişim olacaktır. Bariz nedenlerden ötürü, yalnızca bir kesişme noktasının olduğu durumu dikkate alacağız (diğer iki durum, belirli bir konumu belirlememize yardımcı olmaz).
Yani iki hattımız var, hadi onları ' 1. satır 've' 2. satır '. Bu iki çizgi kesişiyor ve bize bir nokta veriyor, buna ' nokta β ' diyelim. [Not: Bazen 'a' harfi gibi görünebildiği için alfa kullanmadım, bu da daha ileride kafa karışıklığına neden olur]
Diyelim ki üçüncü bir satırınız var, biz buna ' 3. satır '. O zaman satır 3 için kesişimler açısından birkaç olasılık vardır:
- a) satır 1 veya satır 2
- b) Orijinal çizgilerin hiçbiriyle kesişmiyor
- c) Orijinal çizgilerin yalnızca biriyle kesişiyor (ancak özel bir şekilde değil ' a ')
- d) Her iki orijinal çizgiyi de keser ancak noktadan β geçmez em>
- e) Her iki orijinal çizgiyle de kesişir ve noktadan
geçerek
geçer Biz ' a) ' yı yoksayabilir çünkü bu, satır 3 'ün tüm amaç ve amaçlar için ilk iki satırdan birinin kopyası olduğu anlamına gelir. Bu, temelde üç değil, yalnızca iki çizgimiz olduğu anlamına gelir.
b) 'yi yok sayabiliriz çünkü bu, satır 3 ' ün sıfır kavşağa sahip olacağından bulmaya çalıştığımız yer.
' c) ' de atılabilir, ama neden?
Bulduğumuz orijinal nokta, nokta β , çizgiler 1 ve 2 'nin kesişmesiydi. Diyelim ki satır 3 de noktadan β geçti, o zaman; satır 3 , orijinal çizgilerin her ikisiyle kesişmelidir. Ancak ' c) ', satır 3 'ün orijinal satırlardan yalnızca biriyle kesişme olasılığıdır; ikiside değil. Dolayısıyla, ' c) ' ihtimalinde 3. çizgi, bize bir nokta vermek için tek bir başka çizgiyle kesişiyor ve bu noktanın nokta β olamayacağını biliyoruz. Buna " nokta γ " diyelim. İşte sorun; biz sadece tek bir konum istiyoruz, ancak üç çizgi bize iki nokta verdi; β ve γ . Çok fazla yer olduğu için ' c) ' yok sayılır.
' d) ' de dışarıda. Neden? Pekala, satır 1 & 2 β noktasında kesişiyor ve ' d) ' dedik, 3. satır noktadan β geçmez . Bu, artık üç noktamız olduğu anlamına geliyor!
- 1 & 2'nin kesiştiği nokta
- 2 & 3'ün kesiştiği nokta
- Nokta 3. Hatlar & 1'in kesiştiği yer
Sadece bir puan istiyoruz, ancak şimdi üç puanımız var! Bu, " c) " olasılığından bile daha kötü! Yani, ' d) ' kesinlikle çıktı.
' a) ' ile ' d) arasındaki olasılıkları azalttık. ', öyleyse artık' e) 'kalıyoruz. Ama sorun şu; ' e) ' teknik olarak bunda yanlış bir şey yok, ama işe yaramaz! Çizgi 3 , orijinal iki çizgiyi tek bir noktada keser, bunun olabileceği tek yer noktadır β . 3. satır 1. satır & 2 ile noktada β kesişmezse, olasılığa geri dönüyoruz ' d) ', keşfettikçe bize üç puan verir. Artık konumun noktada β olduğunu biliyoruz !!! Bunu biliyoruz çünkü üç çizgi de tek bir noktada kesişiyor.
Ama ... noktanın β ilk iki satırdan nerede olduğunu zaten biliyorduk, hatta bu noktaya bir isim bile verdik: ' nokta β '. satır 3 'ün mantıklı olması için daha önce bulduğumuz bir noktayla kesişmesi gerekir. Aksi takdirde, hiçbir anlam ifade etmeyen ilk dört olasılıktan birine geri döneriz. (mantıklı olan ancak iki çizgi kullanmakla aynı olan ' a ' dışında)
Düşünmenin başka bir yolu;
- Üç boyutlu uzayda iki çizgimiz var ve her ikisinin de bulmaya çalıştığımız bir konumla kesiştiğini biliyoruz.
- İki çizginin tamamen iki boyutlu bir uzayda var olduğunun düşünülebileceğini biliyoruz. içinde bulundukları üç boyutlu uzayın bir 'dilimi' olan düzlem. Bu iki çizginin bütün olarak var olduğu tek bir olası düzlem vardır.
Bulmak istediğimiz yer o uçakta olmak. Neden? Çünkü; çizgiler tamamen düzlemde mevcutsa onun dışında hiçbir yerde yoklar, bulmak istediğimiz yer düzlemin dışında ise o zaman hiçbir parçasının olmadığı yerde var hatların var. Konumun bulunduğu yerde hatların hiçbir parçası yoksa, o zaman hatların oradan geçmesi mümkün değildir, ancak ... hatların bu konumdan geçtiğini biliyoruz, bu nedenle konumun uçakta olması gerekir .
Hepimiz, bir düzlemdeki iki çizginin bize tek bir nokta vermek için kesişeceği konusunda hemfikiriz. Üç boyutlu uzayda bir ve yalnızca bir düzlemin parçası olan iki çizgimiz var, ikisi de konumdan geçiyor ve bu konum düzlemde olmalı. Bu nedenle, üç boyutlu uzayda bu iki çizgi boyunca bile sadece iki çizgi ile konumun tam olarak nerede olduğunu biliyoruz.
Tek ihtiyacınız olan iki çizgi.
Ek bilgilerin size daha fazla "kombinasyon" vereceğini düşünmek cazip gelebilir. Var, ama sorun şu ki; bunların çoğu mümkün değildir ve mümkün olanları işe yaramaz hale gelir. Tüm ek kombinasyonlar, daha önce listelenen beş olasılıktan birine aittir. Şuna aitse;
- ' a) ' - Bir satır diğerinin kopyasıdır, bu nedenle yalnızca iki satır vardır: Ek kombinasyon yok!
- ' b) ' - Hatlardan biri eşzamanlı olarak & konumundan geçiyor bu konumdan geçmiyor . Reductio ad absurdum: Ek olası kombinasyon yok.
- ' c) ' - Bize çok fazla nokta veriyor, bir yer birden fazla yerde bir şekilde var . Reductio ad absurdum: Ek olası kombinasyon yok.
- ' d) ' - Bize çok fazla nokta veriyor, bir konum bir şekilde birden fazla yerde var . Reductio ad absurdum: Ek olası kombinasyon yoktur.
- ' e) ' - nokta β ile kesişen birkaç farklı üçüncü çizgi vardır , bu nedenle birçok yeni kombinasyonumuz var. Ancak tüm bu ek kombinasyonlar aynı yere işaret ediyor; nokta β !!!
Kesinlikle 'e' olasılığından daha fazla kombinasyon elde ediyoruz, ancak hiçbiri yeni sonuç vermiyor! Sadece kesişen iki çizgiden elde edilen sonuçların kopyalarını verirler! Bu nedenle; Daha fazla kombinasyon var ancak aynı sayıda konum var!